[Integrales Indefinidas] Integrar, completar cuadrados en el denominador e integrar

Integrar $\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}$, con $a\neq 0$. (Completar cuadrados en el denominador e integrar).

Solución:

Completamos cuadrados en el denominador
$$\begin{align}ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}\right)+c-\frac{b^2}{4a}\\ &=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right]\end{align}$$
Así
$$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\int\dfrac{dx}{a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}\right]}=\frac{1}{a}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}}$$
De donde
$$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\left\{\begin{array}{l}-\dfrac{1}{a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)},\ \text{si }4ac-b^2=0\\ \dfrac{1}{a\sqrt{\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}}}\text{arc}\tan\left(\dfrac{x+\dfrac{b}{2a}}{\sqrt{\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}}}\right)+k,\ \text{si }4ac-b^2>0\\ \dfrac{1}{2a\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}}\ln\left|\dfrac{x+\dfrac{b}{a}-\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}}{x+\dfrac{b}{a}+\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}}\right|+k,\ \text{si }4ac-b^2<0\end{array}\right.$$