[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] ¿Para qué valores, es una transformación lineal?

Sea $T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ tal que $T(x,y,z)=(x,a,z)$ para todo $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, donde $a\in\mathbb{R}$. ¿Para qué valores de $a$, $T$ es una transformación lineal?

[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Probar que es una transformación lineal

Sea el espacio vectorial $V=\{f\ |\ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f\text{ es continua}\}$ sobre el campo de los número reales, $\mathbb{R}$. Definimos $T:V\rightarrow V$ tal que $T(f(x))=\int_0^xf(t)dt$. Probar que $T$ es una transformación lineal.

[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Hallar el núcleo de la transformación lineal

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3$ la transformación lineal definida por $T(x,y)=(x+y,-x-y,x-y)$. Hallar el $N(T)$ (es decir, el núcleo de $T$)

[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Hallar la imagen de la transformación lineal

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ la transformación lineal definida por $T(x,y)=(x-y,2x+y,x+y)$. Hallar $Im(T)$ (es decir, la imagen de $T$).

[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Demostrar que si es inyectiva entonces son linealmente independientes

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ una transformación lineal cualquiera. Demostrar que si $T$ es inyectiva entonces $T(1,2)$ y $T(3,1)$ son linealmente independientes.