[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Hallar la imagen de la transformación lineal

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ la transformación lineal definida por $T(x,y)=(x-y,2x+y,x+y)$. Hallar $Im(T)$ (es decir, la imagen de $T$).

Solución:

Por definición tendremos
$$Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ \exists(a,b)\in\mathbb{R}^2\wedge T(a,b)=(x,y,z)\}$$
Por definición de $T$, tenemos
$$T(a,b)=(a-b,2a+b,a+b)\Rightarrow (a-b,2a+b,a+b)=(x,y,z)$$
Por igualdad
$$\left\{\begin{array}{c}a-b=x\\ 2a+b=y\\ a+b=z\end{array}\right.\Rightarrow\begin{array}{c}a=\frac{x+z}{2}\\ a=\frac{x+y}{3}\end{array}$$
De donde
$$\frac{x+z}{2}=\frac{x+y}{3}\Rightarrow x-2y+3z=0$$
Por lo tanto, $Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ x-2y+3z=0\}$