[Números Complejos] Demostrar que la parte real e imaginaria de un número complejo se expresa en función del número complejo y su conjugado

Sea $z\in\mathbb{C}$. Demostrar que $\text{Re}(z)\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ y $\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$.

Prueba:

Sea $z\in\mathbb{C}$ de la forma $z=a+bi$, entonces su conjugado es $\overline{z}=a-bi$.
Por definición, La parte real e imaginaria de $z$ son $\text{Re}(z)=a$ y $\text{Im}(z)=b$, respectivamente.
Ahora, operamos
$$\begin{align}z+\overline{z}&=(a+bi)+(a-bi)=2a\Rightarrow a=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\\ z-\overline{z}&=(a+bi)-(a-bi)=2bi\Rightarrow b=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\end{align}$$
De donde obtenemos lo que deseamos demostrar, $\text{Re}(z)\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ y $\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$