[Matrices y Determinantes] Calcular la determinante, desarrollamos por cofactores

Calcular la determinante de
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&2&-1\\ 3&1&-1&2\\ -1&0&0&1\\ 2&3&1&2\end{array}\right)$$
Solución:

Aprovechamos los ceros de la tercera fila. Desarrollamos por cofactores a lo largo de la tercera fila, teniendo en cuenta que $a_{31}=-1$, $a_{34}=1$ y $a_{32}=a_{33}=0$.
$$\begin{align}\text{det}(A)&=\sum_{j=1}^4(-1)^{3+j}a_{3j}\text{det}(A_{3j})\\ &=a_{31}\text{det}(A_{31})-a_{32}\text{det}(A_{32})+a_{33}\text{det}(A_{33})-a_{34}\text{det}(A_{34})\\ &=-\text{det}(A_{31})-\text{det}(A_{34})\end{align}$$
Además
$$\text{det}(A_{31})=\left|\begin{array}{ccc}0&2&-1\\ 1&-1&2\\ 3&1&2\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{cc}1&2\\ 3&2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}1&-1\\ 3&1\end{array}\right|=4$$
Ahora
$$\text{det}(A_{34})=\left|\begin{array}{cc}1&-1\\ 3&1\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}3&1\\ 2&3\end{array}\right|=18$$
Por lo tanto, $text{det}(A)=-4-18=-22$.