[Espacios y Subespacios Vectoriales] Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es cero o el vector es nulo

Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es cero ($0$) o el vector es nulo ($\theta$). Es decir, si $\lambda v=\theta$ entonces $\lambda=0$ ó $v=\theta$.

Prueba:

Supongamos que $v\neq\theta$ y $\lambda v=\theta$. Si $\lambda\neq 0$ entonces $\exists\lambda^{-1}\in K$ tal que $\lambda^{-1}\lambda=1$ (pues $K$ es cuerpo).
Luego
$\lambda v=\theta\Rightarrow\lambda^{-1}\lambda v=\lambda^{-1}\theta\Rightarrow(\lambda^{-1}\lambda)v=\theta\Rightarrow 1\cdot v=\theta\Rightarrow v=\theta$
Pero esto es una contradicción, pues $v\neq\theta$. Por lo que $\lambda=0$.
Ahora, supongamos que $\lambda=0$ y $\lambda v=\theta$. Como $\lambda\neq 0$ entonces $\exists\lambda^{-1}\in K$ tal que $\lambda^{-1}\lambda=1$ (pues $K$ es cuerpo).

Luego
$\lambda v=\theta\Rightarrow\lambda^{-1}\lambda v=\lambda^{-1}\theta\Rightarrow(\lambda^{-1}\lambda)v=\theta\Rightarrow 1\cdot v=\theta\Rightarrow v=\theta$

Por lo tanto, si $\lambda v=\theta$ entonces $\lambda=0$ ó $v=\theta$.