[Espacios y Subespacios Vectoriales] Con las operaciones de RxR, es un subespacio vectorial sobre R

¿$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}\ |\ y\leq x\}$ con las operaciones de $\mathbb{R}^2$ es un subespacio vectorial sobre $\mathbb{R}$?

Solución:

Sean $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V$ dos elementos arbitrarios, es decir, $y_1\leq x_1$ y $y_2\leq x_2$. Sea $\lambda\in\mathbb{R}$.
La suma, $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ y como
$$\left.\begin{array}{c}y_1\leq x_1\\ y_2\leq x_2\end{array}\right\}\Rightarrow y_1+y_2\leq x_1+x_2$$
Entonces $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in V$.
El producto por un escalar, $\lambda(x_1,y_1)=(\lambda x_1,\lambda y_1)$ y como
$$\begin{align}y_1\leq x_1&\Rightarrow\lambda y_1\leq\lambda x_1,\ \text{si }\lambda\geq 0\\ y_1\leq x_1&\Rightarrow\lambda x_1\leq\lambda y_1,\ \text{si }\lambda<0\end{align}$$
Eso es, $\lambda(x_1,y_1)$ sólo pertenece a $V$ si $\lambda\geq 0$ pero no para $\lambda<0$.
Por lo tanto, $V$ no es un subespacio vectorial en $\mathbb{R}^2$.