[Álgebra Abstracta] Problema resuelto sobre grupos abelianos

Pruébese que si $G$ es un grupo abeliano, entonces para todo $a,b\in G$ y todos los enteros $n$, $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

Solución:

Sean $a,b\in G$ y sea $e\in G$ el elemento neutro. Si $n=0$, es inmediato, pues $(a\cdot b)^0=e=e\cdot e=a^0\cdot b^0$. Si $n$ es un número entero positivo probaremos por inducción que $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$. Si $n$ es un número entero negativo, entonces $-n$ es positivo y habiendo probado que se verifica lo solicitado para cualquier positivo, $(a\cdot b)^{-n}=((a\cdot b)^{-n})^{-1}=(a^{-n}\cdot b^{-n})^{-1}=(b^{-n})^{-1}\cdot (a^{-n})^{-1}=b^n\cdot a^n=a^n\cdot b^n$ (pues $G$ es un grupo abeliano). Así, todo se reduce a probar que se cumple para los enteros positivos.

Sea $A=\{n\in\mathbb{N}:(a\cdot b)^n)=a^n\cdot b^n,\forall a,b\in G\}$, donde $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los números enteros positivos. Este conjunto es diferente del vacío pues $1\in A$, en efecto, $(a\cdot b)^1=a\cdot b=a^1\cdot b^1$. Supongamos que se cumple $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ para $n$, es decir que $n\in A$, probaremos que su sucesor también pertenece a $A$, o sea probaremos que $n+1\in A$. En efecto, $(a\cdot b)^{n+1}=(a\cdot b)^n\cdot (a\cdot b)=(a^n\cdot b^n)\cdot (a\cdot b)=a^{n+1}\cdot b^{n+1}$ (hemos usado la hipótesis inductiva y varias veces la asociatividad y conmutatividad de la operación, pues $G$ es grupo y abeliano). Por lo tanto, $n+1\in A$ y por el principio de inducción $A=\mathbb{N}$.

Por lo mencionado antes, concluimos que, para todo $a,b\in G$ y todos los enteros $n$, $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.