[Topología] Problema resuelto sobre topología inclusión y exclusión

Sea $X$ y $A\subset X$. Defina la topología $A$-inclusión denotado por $\tau_A$ y la topología $A$-exclusión denotado por $\tau^A$. Demostrar que $\tau_{\emptyset}=\tau_{dis}$ y $\tau_{X}=\tau_{ind}$, donde $\tau_{dis}$ y $\tau_{ind}$ son las topologías discreta e indiscreta, respectivamente.

Solución:

Las topologías $A$-inclusión y $A$-exclusión están definidas por:
$$\begin{align}\tau_A&=\{\emptyset\}\cup\{B\subset X:A\subset B\}\\ \tau^A&=\{X\}\cup\{B\subset X:A\cap B=\emptyset\}\end{align}$$
Si $A=\emptyset$, $\tau_{\emptyset}=\{\emptyset\}\cup\{B\subset X:\emptyset\subset B\}$. Como $\emptyset\subset B$, para todo $B\subset X$, entonces la topología estará conformada por todos los subconjuntos de $X$, luego $\tau_{\emptyset}=\tau_{dis}$. Por otro lado, $\tau_X=\{\emptyset\}\cup\{B\subset X:X\subset B\}$, pero esto sólo es posible si $B=X$, luego $\tau_X=\tau_{ind}$.