[Topología] Problema resuelto sobre espacio topológico discreto

Sea $(X,\tau)$ es un espacio topológico. Demostrar que $\tau$ es la topología discreta sí y sólo si, para cada $x\in X$, todo conjunto unitario $\{x\}\in\tau$.

Solución:

($\Rightarrow$) Como $\tau$ es la topología discreta, entonces está formada por todos los subonjuntos de $X$, en particular contiene a todos los conjuntos unitarios $\{x\}\subset X$, para cada $x\in X$.

($\Leftarrow$) Sea $\tau$ una topología tal que, para cada $x\in X$, todo conjunto unitario $\{x\}\in\tau$. Por otro lado, para todo $A\subset X$, se tiene:
$$A=\bigcup_{x\in A}\{x\}\in\tau$$
pues $\{x\}\in\tau$ y $\tau$ es topología (la unión arbitrario de elementos de $\tau$ está de nuevo en $\tau$). Como $A$ es cualquier subconjunto de $X$, entonces $\tau$ está formado por todos los subconjuntos de $X$. Por lo tanto, $\tau$ es la topología discreta.