[Topología] La intersección de una familia de topologías

Sea $\{\tau_j:j\in J\}$ una familia arbitraria de topologías sobre $X$, donde $J$ es un conjunto de índices. Probar que la intersección de esta familia de topologías es una topología sobre $X$.

Solución:

Vamos a demostrar que:

$$\bigcap_{j\in J}\tau_j$$

es una topología sobre $X$.

Como $\emptyset ,X\in\tau_j$ para todo $j\in J$, entonces $\emptyset ,X\in\cap_{j\in J}\tau_j$. Sea $\{A_i:i\in I\}$ una familia de abiertos en $\cap_{j\in J}\tau_j$, donde $I$ es un conjunto de índices. Como $A_i\in\tau_j$ para todo $i\in I$ y $j\in J$, entonces $\cup_{i\in I}A_i\in\tau_j$ para todo $j\in J$, pues cada $\tau_j$ es topología. Luego, $\cup_{i\in I}A_i\in\cap_{j\in J}\tau_j$. Sean $A_1,A_2,\ldots ,A_n\in\cap_{j\in J}\tau_j$, es decir, $A_i\in\tau_j$ para cada $i=1,2,\ldots ,n$ y para cada $j\in J$. Como cada $\tau_j$ es topología, entonces $\cap_{i=1}^nA_i\in\tau_j$ para todo $j\in J$. Luego, $\cap_{i=1}^nA_i\in\cap_{j\in J}\tau_j$. Por lo tanto, $\cap_{j\in J}\tau_j$ es topología sobre $X$.