[Topología] La unión de topologías no necesariamente es una topología

Mostrar que la unión de topologías sobre $X$ no necesariamente es una topología sobre $X$.

Solución:

Para este problema hay que mostrar un contraejemplo.

Sea $X=\{a,b,c\}$. Sean $\tau_1=\{\emptyset ,X,\{a\}\}$ y $\tau_2=\{\emptyset ,X,\{b\}\}$ dos topologías sobre $X$. Es fácil observar que:
$$\tau_1\cup\tau_2=\{\emptyset ,X,\{a\},\{b\}\}$$
cuya unión no es una topología sobre $X$, pues $\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}\notin\tau_1\cup\tau_2$.