[Progresiones Geométricas] Encontrar el tercer término de una progresión geométrica

Encontrar el tercer término de una progresión geométrica cuyo quinto elemento es $48$ y noveno término es $768$.

Solución:

Identificamos $a_5=48$ (quinto elemento) y $a_9=768$ (noveno elemento).
Por otro lado, recordemos que $a_n=a_1r^{n-1}$.
Luego
$$\begin{align}a_5&=a_1r^{5-1}=a_1r^4=48\\ a_9&=a_1r^{9-1}=a_1r^8=768\end{align}$$
De donde
$$\frac{a_9}{a_5}=\frac{768}{48}\Rightarrow\frac{a_1r^8}{a_1r^4}=16\Rightarrow r^4=16\Rightarrow r=\pm 2$$
El tercer término resulta ser (sin importar el signo de la razón)
$$a_3=a_1r^{3-1}=a_1r^2=a_1r^2\left(\frac{r^2}{r^2}\right)=\frac{a_1r^4}{r^2}=\frac{a_5}{r^2}=\frac{48}{(\pm 2)^2}=\frac{48}{4}=12$$
Por lo tanto, el tercer término es $a_3=12$.