[Progresiones Geométricas] Hallar la suma y el número de términos de una progresión geométrica

Hallar la suma $S$ y el número de términos $n$ de una progresión geométrica si es que los términos primero, segundo y último son, respectivamente, $3$, $12$ y $49152$.

Solución:

Identificamos $a_1=3$, $a_2=12$ y $a_n=49152$.
Calculamos la razón
$$r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{3}4\Rightarrow r=4$$
Calculamos el número de términos $n$
$$49152=a_n=a_1r^{n-1}=3\cdot 4^{n-1}\Rightarrow 4^{n-1}=\frac{49152}{3}=16384=4^7$$
De donde
$$4^{n-1}=4^7\Rightarrow n-1=7\Rightarrow n=8$$
El número de términos es $n=8$.
Ahora, calculamos la suma
$$S=a_1\left(\frac{1-r^n}{1-r}\right)=3\left(\frac{1-4^8}{1-4}\right)=3\left(\frac{4^8-1}{4-1}\right)=4^8-1=65536-1=65535$$
Por lo tanto, la suma es $S=65535$.