[Ecuaciones Diferenciales Ordinarias] Verificar que la función es solución de la ecuación diferencial

Verificar que la función $y=e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+e^{x^a}$ es solución de la ecuación diferencial $y'-ax^{a-1}y=1$. Donde $a\neq 0$ y $a\neq 1$.

Solución:

Derivamos
$$\begin{align}y'&=ax^{a-1}e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+e^{x^a}e^{-x^a}+ax^{a-1}e^{x^a}\\ &=ax^{a-1}e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+1+ax^{a-1}e^{x^a}\end{align}$$
Operamos
$$\begin{align}y'-ax^{a-1}y&=\left(ax^{a-1}e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+1+ax^{a-1}e^{x^a}\right)-ax^{a-1}\left(e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+e^{x^a}\right)\\ &=ax^{a-1}e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+1+ax^{a-1}e^{x^a}-ax^{a-1}e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt-ax^{a-1}e^{x^a}\\ &=1\end{align}$$
Por lo tanto, la función $y=e^{x^a}\int_0^xe^{-t^2}dt+e^{x^a}$ es solución de la ecuación diferencial $y'-ax^{a-1}y=1$.