[Ecuaciones Diferenciales Ordinarias] Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es $y=C_1e^{-x}+C_2\cos x$.

Solución:

Derivamos
$$\begin{align}y&=C_1e^{-x}+C_2\cos x\\ y'&=-C_1e^{-x}-C_2\sin x\\ y''&=C_1e^{-x}-C_2\cos x\end{align}$$
Y ordenamos
$$\begin{align}-y+C_1e^{-x}+C_2\cos x&=0\\  -y'-C_1e^{-x}-C_2\sin x&=0\\ -y''+C_1e^{-x}-C_2\cos x&=0\end{align}$$
Buscamos eliminar las constantes, por eso el sistema tiene solución si y sólo si
$$\left|\begin{array}{ccc}-y & e^{-x} & \cos x\\ -y' & -e^{-x} & -\sin x\\ -y'' & e^{-x} & -\cos x \end{array}\right|=0\Rightarrow e^{-x}\left|\begin{array}{ccc}-y & 1 & \cos x\\ -y' & -1 & -\sin x\\ -y'' & 1 & -\cos x \end{array}\right|=0$$
De donde (pues $e^{-x}\neq 0$)
$$-y(\sin x+\cos x)-y'(2\cos x)+y''(\sin x-\cos x)=0$$