[Ecuaciones Diferenciales Ordinarias] Encontrar la ecuación diferencial

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es $y=C_1\sin(x+C_2)$.

Solución:

Derivamos con respecto a $x$
$$\begin{align}\frac{dy}{dx}&=y'=C_1\cos(x+C_2)\\ \frac{d^2y}{dx^2}&=y''=-C_1\sin(x+C_2)\end{align}$$
Observemos que
$$y''+y=-C_1\sin(x+C_2)+C_1\sin(x+C_2)=0\Rightarrow y''+y=0$$
Por lo tanto, la ecuación diferencial cuya solución general es $y=C_1\sin(x+C_2)$ es $y''+y=0$.