[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Demostrar que si es inyectiva entonces son linealmente independientes

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ una transformación lineal cualquiera. Demostrar que si $T$ es inyectiva entonces $T(1,2)$ y $T(3,1)$ son linealmente independientes.

Solución:

Consideremos la combinación lineal en $\mathbb{R}^2$ (donde $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$)
$$\alpha T(1,2)+\beta T(3,1)=(0,0)$$
Para que $T(1,2)$ y $T(3,1)$ sean linealmente independientes debemos mostrar que $\alpha=\beta=0$.
Como $T$ es transformación lineal
$$\begin{align}\alpha T(1,2)+\beta T(3,1)&=(0,0)\\ T(\alpha(1,2))+T(\beta(3,1))&=(0,0)\\ T(\alpha(1,2)+\beta(3,1))&=(0,0)\\ T(\alpha+3\beta,2\alpha+\beta)&=(0,0)\end{align}$$
Observemos que $(\alpha+3\beta,2\alpha+\beta)$ anula la transformación $T$, entonces por definición de núcleo de una transformación lineal, $(\alpha+3\beta,2\alpha+\beta)\in N(T)$ (aquí $N(T)$ denota el núcleo de la transformación $T$). Por condición del problema, $T$ es inyectiva, luego el núcleo está formado sólo por el elemento nulo, de donde $(\alpha+3\beta,2\alpha+\beta)=(0,0)$. Operamos la igualdad
$$(\alpha+3\beta,2\alpha+\beta)=(0,0)\Rightarrow\left\{\begin{array}{c}\alpha+3\beta=0\\ 2\alpha+\beta=0\end{array}\right.\Rightarrow \alpha=\beta=0$$
Por lo tanto, $T(1,2)$ y $T(3,1)$ son linealmente independientes.