[Espacios y Subespacios Vectoriales] ¿Es un subespacio vectorial sobre R?

¿$V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ xyz=0\}$ con las operaciones de $\mathbb{R}^3$ es un subespacio vectorial sobre $\mathbb{R}$?

Solución:

Sean $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in V$ dos elementos arbitrarios, es decir, $x_1y_1z_1=0$ y $x_2y_2z_2=0$. Sea $\lambda\in\mathbb{R}$.
La suma, $(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$
$$\begin{align}(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)&=(x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2)(z_1+z_2)\\ &=x_1y_1z_1+x_1y_2z_1+x_2y_1z_1+x_2y_2z_1+x_1y_1z_2+x_1y_2z_2+x_2y_1z_2+x_2y_2z_2\\ &=x_1y_2z_1+x_2y_1z_1+x_2y_2z_1+x_1y_1z_2+x_1y_2z_2+x_2y_1z_2\end{align}$$
Para que la suma $(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)$ pertenezca a $V$ debemos tener siempre que
$$x_1y_2z_1+x_2y_1z_1+x_2y_2z_1+x_1y_1z_2+x_1y_2z_2+x_2y_1z_2$$
Pero eso no se cumple siempre, por ejemplo, para $x_1=0,y_1=1,z_1=1$ (se cumple $x_1y_1z_1=(0)(1)(1)=0$) y $x_2=1,y_2=1,z_2=0$ (se cumple que $x_2y_2z_2=(1)(1)(0)=0$) observemos que
$$x_1y_2z_1+x_2y_1z_1+x_2y_2z_1+x_1y_1z_2+x_1y_2z_2+x_2y_1z_2=1+1=2\neq 0$$
Luego, $(x_1+x_2)(y_1+y_2)(z_1+z_2)$ no siempre es igual a cero, por lo que la suma de dos elementos de $V$ no necesariamente está en $V$. Por lo tanto, $V$ no es un subespacio vectorial.