[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] Probar que es una transformación lineal

Sea el espacio vectorial $V=\{f\ |\ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ f\text{ es continua}\}$ sobre el campo de los número reales, $\mathbb{R}$. Definimos $T:V\rightarrow V$ tal que $T(f(x))=\int_0^xf(t)dt$. Probar que $T$ es una transformación lineal.

Solución:

Sean $f,g\in V$ dos elementos arbitrarios del espacio vectorial y $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ dos escalares arbitrarios.
$$\begin{align}T(\lambda f(x)+\mu g(x))&=\int_0^x[\lambda f(t)+\mu g(t)]dt\\ &=\int_0^x\lambda f(t)dt+\int_0^x\mu g(t)dt\\ &=\lambda\int_0^xf(t)dt+\mu\int_0^xg(t)dt\\ &=\lambda T(f(x))+\mu T(g(x))\end{align}$$
Por lo tanto, $T$ es una transformación lineal.