[Algebra Lineal] [Transformaciones Lineales] ¿Para qué valores, es una transformación lineal?

Sea $T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ tal que $T(x,y,z)=(x,a,z)$ para todo $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$, donde $a\in\mathbb{R}$. ¿Para qué valores de $a$, $T$ es una transformación lineal?

Solución:

Sean $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3$ dos elementos arbitrarios. Sean $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ dos escalares arbitrarios
$$\begin{align}T[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)]&=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\\ &=((x_1+x_2,a,z_1+z_2)\end{align}$$
Para que $T$ sea una transformación lineal debe cumplirse
$$\begin{align}T[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)]&=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)\\ &=(x_1,a,z_1)+(x_2,a,z_2)\\ &=(x_1+x_2,2a,z_1+z_2)\end{align}$$
De donde
$$(x_1+x_2,a,z_1+z_2)=(x_1+x_2,2a,z_1+z_2)\Rightarrow a=0$$
Con $a=0$, sea $\lambda\in\mathbb{R}$ y $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$
$$T[\lambda(x,y,z,)]=T(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=(\lambda x,a,\lambda z)=(\lambda x,0,\lambda z)=\lambda T(x,y,z,)$$
Por lo tanto, $a=0$ hace que $T$ sea una transformación lineal.