[Vectores] Hallar el ángulo entre los vectores

Los vectores $A$ y $B$ forman un ángulo de $\frac{\pi}{3}$ radianes. Sabiendo que $||A||=2$ y $||B||=1$, hallar el ángulo $\theta$ entre los vectores $C=A+B$ y $D=A-B$.

Solución:

Sabemos que
$$A\cdot B=||A|| ||B||\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=1$$
Operamos
$$\begin{align}C\cdot D&=(A+B)\cdot(A-B)=||A+B|| ||A-B||\cos\theta\\ &=||A||^2-||B||^2=\sqrt{||A+B||^2||A-B||^2}\cos\theta\\ &=2^2-1^2=\sqrt{(||A||^2+2A\cdot B+||B||^2)(||A||^2-2A\cdot B+||B||^2)}\cos\theta\\ &=3=\sqrt{(2^2+2(1)+1^2)(2^2-2(1)+1^2)}\cos\theta\\ &=3=\sqrt{21}\cos\theta\end{align}$$
De donde
$$\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{21}}\Rightarrow\theta=\text{arc}\cos\left(\frac{3}{\sqrt{21}}\right)$$