[Álgebra Abstracta] Problema resuelto sobre la definición de grupo

Determínese si el sistema descrito es o no un grupo.
$G=\mathbb{Z}$ es el conjunto de los números enteros y $a\cdot b=a-b$.

Solución:

La diferencia de dos números enteros $a$ y $b$ cualesquiera es otro número entero, entonces verifica que la operación $a\cdot b=a-b$ es cerrado. Sean $a,b,c\in\mathbb{Z}$, $a\cdot (b\cdot c)=a\cdot (b-c)=a-(b-c)=a-b+c$, por otro lado, $(a\cdot b)\cdot c=(a-b)\cdot c=(a-b)-c=a-b-c$, de donde $a\cdot (b\cdot c)\neq (a\cdot b)\cdot c$. Por lo tanto, no es grupo, pues la operación no es asociativa. Además, se puede verificar fácilmente, que no existe elemento neutro y no tiene sentido hablar de elementos inversos si no existe un elemento neutro o cero.