[Teoría de la Medida] Problema resuelto sobre límites inferiores de sucesiones de conjuntos

Dados dos sucesiones de subconjuntos $(E_n:n\in\mathbb{N})$ y $(F_n:n\in\mathbb{N})$ de un conjunto $X$. Muestre que:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\inf E_n\cup\lim_{n\rightarrow\infty}\inf F_n\subset\lim_{n\rightarrow\infty}(E_n\cup F_n)$$
Solución:

Sea $x\in\lim_{n\rightarrow\infty}\inf E_n\cup\lim_{n\rightarrow\infty}\inf F_n$, es decir, $x\in\lim_{n\rightarrow\infty}\inf E_n$ ó $x\in\lim_{n\rightarrow\infty}\inf F_n$.

Luego, $x\in\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}E_k$ ó $x\in\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}F_k$. Como $E_k,F_k\subset (E_k\cup F_k)$, entonces $\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}E_k\subset\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}(E_k\cup F_k)$ y $\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}F_k\subset\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}(E_k\cup F_k)$.

En cualquiera de los casos, $x\in\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k\geq n}(E_k\cup F_k)=\lim_{n\rightarrow\infty}(E_n\cup F_n)$.

Luego, $\lim_{n\rightarrow\infty}\inf E_n\cup\lim_{n\rightarrow\infty}\inf F_n\subset\lim_{n\rightarrow\infty}(E_n\cup F_n)$.