[Matrices y Determinantes] Hallar la matriz, por igualdad de matrices

Hallar la matriz $A\in\mathbb{R}^2$, tal que $a_{22}=4$ y
$$A^2=\left(\begin{array}{cc}7&10\\ 15&22\end{array}\right)$$
Solución:

Sea la matriz
$$A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&4\end{array}\right)$$
pues, por dato del problema $a_{22}=4$. Operamos
$$A^2=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a^2+bc&ab+4b\\ ac+4c& bc+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7&10\\ 15&22\end{array}\right)$$
Por igualdad de matrices
$$bc+16=22\Rightarrow bc=6$$
Reemplazamos el resultado obtenido en $a^2+bc=7$
$$a^2+bc=7\Rightarrow a^2+6=7\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$$
Además de las igualdades $ab+4b=10$ y $ac+4c=15$ tenemos
$$b=\frac{10}{a+4}\qquad\qquad c=\frac{15}{a+4}$$
Si $a=-1$ entonces
$$b=\frac{10}{-1+4}=\frac{10}{3}\qquad\qquad c=\frac{15}{-1+4}=5$$
Pero no se satisface que $bc=6$.
Si $a=1$ entonces
$$b=\frac{10}{1+4}=2\qquad\qquad c=\frac{15}{1+4}=3$$
y sí se satisface $bc=6$.
Por lo tanto, la matriz $A$ es
$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 3&4\end{array}\right)$$