[Integrales Indefinidas] Integrar, a la integral le damos la forma

Integrar $\int x^{n-1}\sqrt{1+2x^n}dx$.

Solución:

A la integral dada le damos la forma
$$\int x^{n-1}\sqrt{1+2x^n}dx=\int(1+2x^n)^{1/2}x^{n-1}dx$$
Sea $u=1+2x^n$, entonces $du=2nx^{n-1}dx$, de donde $x^{n-1}dx=\frac{du}{2n}$.
Reemplazando
$$\begin{align}\int x^{n-1}\sqrt{1+2x^n}dx&=\int(1+2x^n)^{1/2}x^{n-1}dx\\ &=\int u^{1/2}\frac{du}{2n}\\ &=\frac{u^{3/2}}{3n}+c\\ &=\frac{(1+2x^n)^{3/2}}{3n}+c\end{align}$$
Por lo tanto
$$\int x^{n-1}\sqrt{1+2x^n}dx=\frac{(1+2x^n)^{3/2}}{3n}+c$$